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[응용통계학] Chapter 8 | Inferences on a Population Mean 목차 8.1 Confidence Intervals 8.2 Hypothesis Testing 8장에서는 Confidence Intervals(t-intervals)와 Hypothesis testing(t-test)을 통한 Population means의 추론을 배운다. 8.1 Confidence Intervals Confidence Intervals(신뢰구간) 정의 : 우리가 추정하고자 하는 µ에 대한 신뢰구간이란 µ의 "plausible(타당한, 그럴듯한)" 값을 포함하는 구간이다. EX) 강의에 참석한 60명의 키를 수집한다고 해보자 평균 키에 대한 구간으로 어떤 것이 더 plausible 해보이는가? 2번! 즉, 신뢰구간은 범위+타당성을 정의하는 구간이다. 어떻게? : 신뢰 구간은 점 추정치와 표준 .. 공감수 0 댓글수 1 2023. 10. 7.
[3Blue1Brown] Part 4 | The quick proof of Bayes' theorem {학습 목적} Part 4에서는 베이즈 정리를 수학적 관점에서 보는 것에 대해서 설명한다. 이 부분을 학습하는 이유는 베이즈 공식에 대해서 빠르게 이해하고 어떤 상황에 적용해볼 수 있는지 알아보기 위해서라고 생각한다. A,B 두 사건이 있다고 가정해보자 이 사건 두 개가 동시에 일어날 확률은 어떻게 될까? 이는 (모든 사건에 대해서 A가 일어날 확률) x( A가 일어난다고 가정했을 때의 B가 발생할 확률)의 공식을 이용하면 된다. 이는 (모든 사건에 대해서 B가 일어날 확률) x (B가 일어난다고 가정했을 때의 A가 발생할 확률)의 공식을 이용한 것과도 같다. 이 공식은 다음과 같이 표현할 수 있다. 이 공식을 더 빠르게 이해할 수 있는 방법에 대해서 알아보자 A와 B가 동시에 일어날 확률이 A와B의 각.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 8. 15.
[3Blue1Brown] Part 3 | Bayes theorem, the geometry of changing beliefs {학습 목적} part 3에서는 베이즈 이론에 대해서 학습한다. 이 부분을 학습하는 이유는 베이즈 정리가 불확실성 상황에서 의사결정을 내리는데 중요하게 사용되기 때문이라고 생각된다. 즉, 베이즈 정리는 데이터가 주어지기 전의 사전 확률값이 데이터가 주어지면 어떻게 변하는지 사후 확률을 통해 알 수 있다. 베이즈 정리에 대해서 3가지 단계를 통해 이해해볼 수 있다. 1. 공식의 각각 개별부분의 의미를 이해해본다. 2. 그리고 다이어그램을 통해 그 공식이 참인 이유를 알아본다. 3. 마지막으로 이 공식을 언제 사용하는지 이해해보는 것이다. (가장 중요) 이 강의에서는 3단계를 역순으로 살펴보고 있다. 공식을 언제 사용하는지에 대해 이해해보기 위해 스티브란 사람의 예시를 들고 있다. 스티브의 성격이 meak .. 공감수 0 댓글수 0 2022. 8. 15.
[3Blue1Brown] Part 2 | Why “probability of 0” does not mean “impossible” {학습 목적} Part 2 에서는 확률밀도함수에 대해서 학습한다. 이 부분을 학습하는 이유는 확률의 확률에 대한 역설을 해결하여 확률을 구하기 위해서이다. 동전을 던지는 시행을 생각해보자 앞면이 나올 확률은 20%, 90%, 0% .. 등 우리는 앞면이 나올 확률을 알지 못한다. 이 동전을 10번 던진다고 했을 때, 그 중 앞면이 7번 나온 경우를 보자 이것은 각 시행마다 앞면이 나올 확률이 0.7이라는 것과 같을까? 이것은 이상하게 느껴지는 질문이다. 먼저 확률의 확률 (앞면이 나올 확률이 0.7인가?)에 대해 묻고 우리가 앞면이 나올 빈도조차 모르기 때문이다. 하지만 이 질문을 연속값의 맥락에서 본다면 답을 얻을 수 있다 앞면이 나올 확률을 "h"라고 해보자 (h는 0~1까지 모든 실수) 예를 들어 .. 공감수 0 댓글수 0 2022. 8. 11.
[3Blue1Brown] Part 1 | 수학적으로 어느 별점이 더 나은 걸까? {학습 목적} Part 1에서는 판매처에서 물품을 구매하여 만족할 확률을 예시로 들어 성공률에 대한 이항분포를 설명하고 있다. 이 부분을 학습하는 이유는 어떤 성공 확률이 얼마나 가능성이 있는 확률인지 즉 확률의 확률에 대해 알기 위한 바탕 지식을 공부하기 위해서라고 생각한다. 어떤 제품을 온라인 쇼핑몰에서 사려 하는 데 판매처가 세 곳이 있다. 똑같은 제품을 같은 가격에 팔고 있다고 하자 첫 판매처는 10건의 리뷰가 100퍼센트 만족을 나타내고 2번째 판매처는 50건의 리뷰가 96퍼센트의 만족을 3번째 판매처는 200건의 리뷰가 93퍼센트의 만족을 나타낸다. 어디서 사는 게 좋을까? 아마 다들 리뷰가 더 많으면 많을수록 더 신뢰할 수 있다고 생각할 것이다. 보통 리뷰의 수가 적으면 몇 건만 달라져도 더.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 8. 9.
[3Blue1Brown] Chapter 12 | 크래머 공식의 기하학적 설명 {학습 목적} Chapter 12 에서는 크래머 공식을 기하학적으로 설명하고 있다. 이 부분을 학습하는 이유는 단순히 크래머 공식을 적용하여 미지 벡터의 좌표를 구하는 것을 배우는 것이 아닌 행렬식과 선형방정식계의 관련성에 대해 깊게 이해해보기 위한 것이라고 생각한다. 두 개의 미지수x,y와 그에 대한 방정식 두 개로 이루어진 선형연립방정식이 있다고 하자 이 방정식을 기하학적으로 생각할 수 있다. 어떤 미지 벡터 [x,y]가 주어진 행렬에 의해 선형 변환 되면 그 결과값은 식에서 주어진 [-4,-2]가된다. 이 행렬의 열은 벡터가 변환시 어떻게 변해가는가를 알려준다. 즉 각 열은 변환 전 공간의 기저 벡터가 변환 후 도달하는 곳을 알려주는 것이다. 어떤 입력값 [x,y]가 결괏값인 [-4,-2]에 도달할.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 8. 8.
[3Blue1Brown] Chapter 16 | Abstract vector spaces {학습 목적} Chapter 16에서는 함수의 예시를 들어 수학에서 벡터와 비슷한 개념들이 많다는 것을 알려주고 있다. 이 부분을 학습하는 이유는 벡터가 우리가 생각하는 좌표계에서의 화살표와 같이 특정한 것이 아니라 공리만 만족하게 된다면 여러 공간에서 쓰일 수 있다는 것을 배우기 위해서라고 생각한다. 즉, 벡터와 행렬이 광범위하게 쓰인다는 것을 깨달을 수 있었다. 이 선형대수 강의에서 가장 처음으로 했던 질문은 "벡터란 무엇일까?" 이었다. 2차원 벡터란 근본은 평면에 있는 화살표인데 편의상 좌표계를 그린 것인가, 아니면 원래는 실수쌍인데 보기 쉽게 평면에 화살표로 표현한 것인가? 또는 둘 다 더 근본적인 무엇을 나타내는 도구일 뿐인가? 벡터를 숫자의 배열로 정의하면 명백한 것 같다. 즉 4차원 벡터나.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 8. 7.
[3Blue1Brown] Chapter 15 | A quick trick for computing eigenvalues {학습 목적} Chatper 15에서는 고유값을 빠르게 계산하는 방법에 대해 학습한다. 이를 학습하는 이유는 2x2 행렬에서 고유값 계산에서 특성다항식을 구성하는 단계를 건너뛰는 방법을 통해 좀 더 쉽고 빠른 계산을 하기 위해서라고 생각한다. 우리는 앞에서 고유값을 계산하기 위해 특성다항식에 대해 배웠다. 2x2행렬의 경우 고유값을 얻을 수 있는 더 쉬운 방법이 있다. 1. 행렬의 두 대각선 항목의 합인 행렬의 자취는 고유값의 합과 같다. 더 유용하게 쓰이는 다른 표현 방법은 두 고유값의 평균이 두 대각선 항목의 평균과 동일하다는 것이다. 2. 행렬식의 공식인 ad-bc는 두 고유값의 곱과 같다. 이 값이 고유벡터의 특정 방향으로 공간을 얼마나 확장하는지를 설명하게 된다. 3번을 설명하기 전에 예시를 보.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 8. 7.
[3Blue1Brown] Chapter 14 | Eigenvectors and eigenvalues {학습 목적} Chapter 14에서는 고유벡터, 고유값, 고유기저에 대해 학습한다. 고유벡터, 고유값, 고유기저를 공부하는 이유는 행렬에서 이 값들을 알아내어 변환이 되지 않는 경우도 있지만 대각선 행렬을 만들어 행렬의 계산을 쉽게 하기 위해서라고 생각한다. 고유벡터, 고유값을 아는데 중요한 개념은 행렬을 선형변형으로 보는 것, 행렬식, 선형방정식계, 기저변환이다. 이차원 선형변환에 대해 생각해보자 이 변환은 기저 벡터인 i-hat을 좌표 [3,0]으로, j-hat을 [1,2]로 옮겨서 열이 [3,0]과 [1,2]인 행렬로 나타난다. 한 특정한 벡터의 변환과 벡터의 종점과 시점을 지나는 선인 그 벡터의 스팬에 대해서 생각해보자. 대부분의 벡터는 변환의 과정에서 자신의 스팬을 벗어날 것이다. 만약, 벡터.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 8. 7.
[3Blue1Brown] Chapter 13 | Change of basis {학습 목적} Chapter 13에서는 기저의 변환에 대해 학습한다. 기저의 변환이 왜 중요한 지는 이 챕터를 통해 깨닫지는 못했다. 하지만 기저의 변환을 통해 특정 벡터를 또 다른 관점에서 볼 수 있는 방법을 학습함으로써 선형 변환과 행렬의 곱을 통한 연속적인 변환의 역할이 기저의 변환에 쓰인다는 것을 통해 이들의 역할에 대해서 다시 한번 강조하는 것 같았다. 만일 우리가 2d 공간에 있는 하나의 벡터를 놓는다면, 우리는 좌표를 사용해서 이 벡터를 묘사하는 기본적인 방법을 갖게 된다. 예를 들어 [3,2]좌표값을 갖는 벡터를 생각해보자 이것은 꼬리에서 머리까지 오른쪽으로 3칸 움직이고, 위로 2칸 움직인다는 것을 의미한다. 선형대수에서 좌표를 설명하는 방법은 각각의 숫자를 스칼라로 이루어져있다고 생각하.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 8. 6.
[3Blue1Brown] Chapter 11 | Cross products in the light of linear transformations {학습 목적} Chatper 11에서는 외적의 정의를 선형변환의 관점에서 바라본다. 이 부분을 학습하는 이유는 행렬식과 이중성을 이용하여 외적의 기하학적 속성에 대해 이해해보기 위해서라고 생각한다. 또한 3차원에서의 수선으로의 선형변환을 이해하는 것이 외적의 기하학적 의미와 계산 사이의 관계를 명확하게 만드는 것이기 때문에 이 부분을 공부하는 것 같다. 바로 앞 챕터의 마지막 부분에서 외적 행렬의 이상한 계산 공식이 있었다. v와 w의 외적에서 두 번째 열에는 v벡터를 적고 세 번째 열에는 w벡터를 적고 첫번째 열에는 i-hat, j-hat, k-hat 기호를 적은 행렬을 만들었다. 그리고 이 행렬의 행렬식을 구했다. 단지 이를 계산해보면, 상수*(i-hat) + 상수*(j-hat) + 상수*(k-hat.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 8. 4.
[3Blue1Brown] Chapter 10 | Cross products {학습 목적} Chapter 10에서는 일반적으로 널리 알려져있는 외적의 정의에 대해서 학습한다. 그 다음 챕터에서 배울 외적의 정의를 깊게 이해하기 위한 전 단계이기 때문에 이 파트를 학습하는 것 같다. 이 챕터에서는 이중성에 대한 개념을 다루진 않았는데 내가 예상하기로는 외적과 행렬식 사이에서 이중성이 존재하는 것 같다.... 외적 파트는 총 2개의 강의 영상으로 구성되어있다. 첫 번째 강의는 일반적인 외적의 개념에 대해 설명한다. 2차원에서의 두 벡터 v,w가 있을 때, 이들이 만드는 평행사변형을 생각해보자. v 벡터를 복사해서 꼬리를 w 벡터의 끝부분에 맞추고, w 벡터를 복사해서 꼬리를 v벡터의 끝에 맞춘다. v 벡터와 w 벡터의 외적(cross product)은 ×라는 곱하기 기호를 사용해서 .. 공감수 0 댓글수 0 2022. 8. 3.
[3Blue1Brown] Chapter 9 | Dot products and duality {학습 목적} Chapter 9에서는 내적과 이중성에 대해서 다룬다. 이 개념을 학습하는 이유는 앞에서 배웠던 직사각행렬의 개념을 적용해서 벡터와 선형변환에 대한 이중성을 이해한 후 내적이 왜 투영과 관련이 있는 지에 대해 다루기 위해서라고 생각한다. 이 학습은 벡터를 어떤 변환의 개념적 단축 표현으로 볼 수 있는 시각을 길러주기 위해 배우는 것 같기도 하다. [내적(Dot product)] 일반적으로 내적을 어떻게 설명하는지부터 보자. 같은 차원의 두 벡터가 있을 때, 내적을 구한다는 것은 같은 좌표 값으로 짝을 지어 곱하고 모두 더하면 된다. 이 계산을 기하학적으로 해석해보자 두 벡터 v,w에 투영(project)라는 개념을 도입한다. w 벡터를 v 벡터와 원점을 지나는 선 위로 투영(project).. 공감수 1 댓글수 0 2022. 8. 2.
[3Blue1Brown] Chapter 8 | Nonsquare matrices as transformations between dimensions {학습 목적} Chapter 8에서는 직사각행렬에 대해서 다룬다. 이 개념을 학습하는 이유는 차원들 사이의 변환을 의미하는 것이 직사각행렬의 선형변환이라는 것을 알고 격자선의 균등한 간격과 원점을 유지하면서도 차원이 변화될 수 있다는 것을 기하학적으로 이해해보기 위해서라고 생각한다. *선형변환이라는 것은 격자선이 평행하고 균등 간격을 가지면서 변화하고 원점은 계속 원점이어야한다.* [3x2 행렬] 이 그림의 왼쪽이 입력값, 즉 2차원 공간이고, 오른쪽은 변환의 결과값으로 3차원 공간이다. 둘은 완전히 다른, 연결되지 않는 공간에 존재하는 벡터이다. 기저 벡터의 움직임을 살펴보면 행렬의 열들이 그 좌표값이 된다. 예를 들어, 이 그림의 오른쪽은 변환의 결과이다. (1,0) 에서 i-hat은 (2,-1,2).. 공감수 0 댓글수 0 2022. 7. 30.
[3Blue1Brown] Chapter 7 | Inverse matrices, column space and null space {학습 목적} Chapter 7에서는 역행렬, 계수, 열공간, 영공간에 대해서 다룬다. 이 개념을 학습하는 이유는 복잡한 방정식계를 공간의 변형, 벡터의 움직임과 역행렬, 열공간, 영공간을 사용하여 해를 구할 수 있게 해주는 선형대수의 유용성에 대해 알아보기 위해서라고 생각한다. 방정식계(system of equations): 미지수인 변수 리스트와 변수들과 관련된 방정식을 가진 것 각 방정식 내에서, 각 변수들의 역할은 어떤 상수를 스케일링 하는 것이다. 그리고 스케일 된 변수들을 서로 더하는 게 전부이다. 이런 변수들을 조직화 한 것이 특수한 방정식계이다. 모든 변수들을 좌항으로 보내고 오른쪽에는 상수항을 놓는다. 이렇게 놓는 것을 선형방정식계(linear system of equations)라고 한.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 7. 30.
[3Blue1Brown] Chapter 6 | The determinant {학습 목적} Chapter 6에서는 행렬식에 대해 학습한다. 행렬식은 앞 챕터에서의 선형 변환, 즉 공간 변형의 개념을 적용하여 이루어지는 것 같다. 앞에서는 공간의 변형을 다뤘다면 이 부분에서는 기저 벡터가 이루는 단위 영역의 개념으로 축소하여 좀 더 깊이 있게 변형을 이해해보는 과정인 것 같다. 즉, 이 개념을 공부하는 이유는 공간의 변형의 개념을 좀 더 축소화한 단위 영역의 변환을 시각적으로 바라보기 위해서라고 생각한다. [행렬식] 행렬식(determinant): 선형 변환에 의한 단위 정사각형의 영역의 변화를 나타내는 팩터 예를 들어 행렬식 값이 6이라면, 영역 크기를 6으로 확장하는 것을 의미한다. 2차원 변환의 행렬식 값이 0이라면, 어느 영역이든 크기가 0이기 때문에 모든 공간이 찌그러져서.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 7. 30.
[3Blue1Brown]Chapter 5 | Three-dimensional linear transformations {학습 목적} Chapter 5에서는 앞에서 배웠던 선형변환을 3차원 공간에 적용해본다. 이 부분을 학습하는 이유는 변환이 입력 벡터를 *움직여서* 출력 벡터를 만든다는 컨셉을 다시 한번 상기시켜 3차원 공간에서의 선형변환을 이해해보기 위해서라고 생각한다. 즉, 수치적 표현보다는 시각적 표현으로 개념을 이해하여 3차원 공간으로의 개념 확장을 보여주고 있는 것 같다. 3차원에서의 선형변환도 2차원과 마찬가지로 기저 벡터의 움직임을 알면 완벽하게 알아낼 수 있다. 이 때 기저 벡터로 z축이 추가되는데 z축의 단위 벡터는 k-hat이라고한다. 어떤 벡터 [x,y,z]가 변환 후 어디가 되는 지는 2차원에서 했던 방법과 동일하다. 각 좌표 값을 스케일링 팩터로 보면 된다. 각 기저 벡터들을 그 팩터로 스케일링해.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 7. 29.
[3Blue1Brown]Chapter 4 | Matrix multiplication as composition {학습 목적} Chapter 4에서는 행렬의 곱셈에 대해 다룬다. 이 개념을 학습하는 이유는 2번 이상의 변환을 적용할 때 행렬의 곱셈을 통해서 결과 값을 어떻게 설명할 지에 대해 알아보기 위해서라고 생각한다. 두 개의 선형변환의 합성도 i-hat, j-hat을 이용해서 행렬로 표현이 가능하다. 어떤 벡터를 회전시키고 미는 변환을 시킨 후 결과 벡터를 생각해보자. 이러한 과정을 거친 새 행렬을 두 원본 행렬의 곱이라고 부른다. 즉 두 행렬의 곱셈은 기하학적으로 한 변환을 적용하고 나서 다른 변환을 적용한 것과 같다. 그리고 이것의 결과를 선형변환의 합성이라고 말한다. 읽을 때는 오른쪽에서 왼쪽방향으로 봐야한다. 우측의 행렬이 첫번째 변환을 의미하고, 좌측의 행렬을 그 다음 변환 적용을 나타낸다. i-ha.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 7. 29.
[3Blue1Brown] Chapter 3 | Linear transformations and matrices {학습 목적} Chapter 3에서는 선형변환과 행렬에 대해 설명한다. 앞 챕터에서는 공간의 형성에 대해 배웠다면 이번 챕터에서는 공간의 변형에 대해서 다루는 것 같다. 이 개념을 학습하는 이유는 행렬이 단지 행과 열로 이루어진 숫자들의 집합이 아니라 실제로는 공간의 변형이라는 기하학적으로 중요한 의미를 담아내고 있다는 것을 이해하기 위해서라고 생각한다. [선형변환] 선형변환(Linear transformation): 선형대수에서의 특수한 형태의 변환 모든 선들은 변환 이후에도 휘지 않고 직선이어야하며, 원점 변환은 이후에도 여전히 원점이어야한다. 즉, 격자 라인들은 변형 이후에도 여전히 평행하고 동일한 간격으로 있어야 한다. 변환은 선형대수 맥락으로 보자면, 특정 벡터를 다른 벡터로 바꾸는 것이다. 변.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 7. 29.
[3Blue1Brown] Chapter 2 | Linear combinations, span, and basis, vectors {학습 목적} Chapter 2에서는 기저, 선형조합, 스팬에 대한 개념을 학습한다. 이 개념을 학습하는 이유는 기저, 선형조합, 스팬은 벡터를 통한 공간의 형성이라는 컨셉에 대한 기본적인 구성요소이기 때문이라고 생각한다. 즉, 기저를 선형조합함으로써 어떠한 span(확장공간)을 만든다는 것을 이해할 수 있다. [기저] 단위 벡터(unit vector): x축의 단위 벡터 - 오른쪽 방향의 길이 1 벡터, 'i-hat' y축의 단위 벡터 - 왼쪽 방향으로 길이 1 벡터, 'j-hat' i-hat, j-hat를 좌표의 기저(basis)라고 부른다. 즉, 좌표값을 스칼라로 생각해보면, 기저 벡터들은 그 스칼라(좌표값)가 스케일링 하는 대상이 된다. [선형조합] 좀 더 기술적인 정의로 보자면, 좌표계를 이 두.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 7. 29.
[3Blue1Brown] Chapter 1 | Vectors {학습 목적} Chapter 1에서는 벡터에 대한 여러가지 관점과 선형대수의 전반적인 주제를 다루는 벡터의 합과 스칼라 곱에 대해서 설명한다. 이 개념을 배우는 이유는 벡터를 공간의 화살표라는 문맥에서 숫자-리스트 라는 관점으로 이해하는 것처럼 벡터의 3가지 관점 사이로 번역해보면서 선형대수가 다양한 분야에서 어떻게 유용하게 쓰이는지 파악하기 위해서라고 생각한다. 기본적, 근본적 선형대수의 구성조각은 벡터이다. [벡터에 대한 3가지 관점] - Physics: 벡터는 공간에서의 화살표 - CS: 벡터는 순차 숫자 리스트 - Mathematics: 벡터의 연산(합, 곱)이 가능하다면 무엇이든 벡터로 볼 수 있다. 벡터의 합, 스칼라 곱이 선형대수 전반에 걸쳐 중요한 역할 담당! [벡터의 합] 벡터를 하나의 .. 공감수 0 댓글수 0 2022. 7. 29.

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