[3Blue1Brown] Chapter 8 | Nonsquare matrices as transformations between dimensions

{학습 목적}
Chapter 8에서는 직사각행렬에 대해서 다룬다. 
이 개념을 학습하는 이유는 차원들 사이의 변환을 의미하는 것이 직사각행렬의 선형변환이라는 것을 알고 격자선의 균등한 간격과 원점을 유지하면서도 차원이 변화될 수 있다는 것을 기하학적으로 이해해보기 위해서라고 생각한다. 

 

<직사각행렬의 선형변환>

 

*선형변환이라는 것은 격자선이 평행하고 균등 간격을 가지면서 변화하고 원점은 계속 원점이어야한다.*

 

 

[3x2 행렬]

 

이 그림의 왼쪽이 입력값, 즉 2차원 공간이고, 오른쪽은 변환의 결과값으로 3차원 공간이다.

 

 

둘은 완전히 다른, 연결되지 않는 공간에 존재하는 벡터이다.

 

기저 벡터의 움직임을 살펴보면 행렬의 열들이 그 좌표값이 된다.

예를 들어, 이 그림의 오른쪽은 변환의 결과이다.

 

 

(1,0) 에서 i-hat은 (2,-1,2)가 되고, (0,1)에서는 j-hat은 (0,1,1)이 된다.

주목할 점은 3행, 2열, 3x2 행렬이라는 것이다. 

행렬의 열공간은 3차원 공간의 원점을 가로지르는 2차원 평면상의 모든 벡터가 된다.

하지만 행렬은 여전히 full rank이다. 출력 열공간의 차원수가 입력공간의 차원수와 같기 때문이다.

그래서 3x2행렬의 결과는 기하학적 해석으로 2차원 공간을 3차원 공간으로 매핑하는 것으로 볼 수 있다.

두 열의 입력공간은 두 기저벡터를 의미하고 기저 벡터의 도착지인 각 열의 3개의 행은 3개의 다른 좌표값을 나타낸다.

 

[2x3 행렬]

 

2x3행렬은 열이 3개기 때문에 이는 3차원공간에서 시작했음을 알 수 있다.

2개의 행이 의미하는 것은 세 기저 벡터의 변환 후를 말해주는 것으로 여기선 단지 좌표값 2개만을 가지고 있다는 것을 알 수 있다.

 

 

그러므로 3차원 공간에서 2차원 공간으로의 변환이다.

 

 

[1x2 행렬]

 

1x2행렬은 2차원 공간에서 1차원 공간으로의 변환이다.

 

균등 간격의 점이 찍힌 선을 생각해보자.

2차원 공간에서 1차원 공간으로의 변환은 균등 간격을 유지하면서 수선으로 매핑하는 것이다.

 

 

1x2행렬의 두 열들은 하나의 숫자만 갖게 된다.

그러므로 각 열들의 하나의 숫자가 기저벡터의 도착지가 된다.