수학/선형대수학

{학습 목적} Chapter 12 에서는 크래머 공식을 기하학적으로 설명하고 있다. 이 부분을 학습하는 이유는 단순히 크래머 공식을 적용하여 미지 벡터의 좌표를 구하는 것을 배우는 것이 아닌 행렬식과 선형방정식계의 관련성에 대해 깊게 이해해보기 위한 것이라고 생각한다. 두 개의 미지수x,y와 그에 대한 방정식 두 개로 이루어진 선형연립방정식이 있다고 하자 이 방정식을 기하학적으로 생각할 수 있다. 어떤 미지 벡터 [x,y]가 주어진 행렬에 의해 선형 변환 되면 그 결과값은 식에서 주어진 [-4,-2]가된다. 이 행렬의 열은 벡터가 변환시 어떻게 변해가는가를 알려준다. 즉 각 열은 변환 전 공간의 기저 벡터가 변환 후 도달하는 곳을 알려주는 것이다. 어떤 입력값 [x,y]가 결괏값인 [-4,-2]에 도달할..

{학습 목적} Chapter 16에서는 함수의 예시를 들어 수학에서 벡터와 비슷한 개념들이 많다는 것을 알려주고 있다. 이 부분을 학습하는 이유는 벡터가 우리가 생각하는 좌표계에서의 화살표와 같이 특정한 것이 아니라 공리만 만족하게 된다면 여러 공간에서 쓰일 수 있다는 것을 배우기 위해서라고 생각한다. 즉, 벡터와 행렬이 광범위하게 쓰인다는 것을 깨달을 수 있었다. 이 선형대수 강의에서 가장 처음으로 했던 질문은 "벡터란 무엇일까?" 이었다. 2차원 벡터란 근본은 평면에 있는 화살표인데 편의상 좌표계를 그린 것인가, 아니면 원래는 실수쌍인데 보기 쉽게 평면에 화살표로 표현한 것인가? 또는 둘 다 더 근본적인 무엇을 나타내는 도구일 뿐인가? 벡터를 숫자의 배열로 정의하면 명백한 것 같다. 즉 4차원 벡터나..

{학습 목적} Chatper 15에서는 고유값을 빠르게 계산하는 방법에 대해 학습한다. 이를 학습하는 이유는 2x2 행렬에서 고유값 계산에서 특성다항식을 구성하는 단계를 건너뛰는 방법을 통해 좀 더 쉽고 빠른 계산을 하기 위해서라고 생각한다. 우리는 앞에서 고유값을 계산하기 위해 특성다항식에 대해 배웠다. 2x2행렬의 경우 고유값을 얻을 수 있는 더 쉬운 방법이 있다. 1. 행렬의 두 대각선 항목의 합인 행렬의 자취는 고유값의 합과 같다. 더 유용하게 쓰이는 다른 표현 방법은 두 고유값의 평균이 두 대각선 항목의 평균과 동일하다는 것이다. 2. 행렬식의 공식인 ad-bc는 두 고유값의 곱과 같다. 이 값이 고유벡터의 특정 방향으로 공간을 얼마나 확장하는지를 설명하게 된다. 3번을 설명하기 전에 예시를 보..

{학습 목적} Chapter 14에서는 고유벡터, 고유값, 고유기저에 대해 학습한다. 고유벡터, 고유값, 고유기저를 공부하는 이유는 행렬에서 이 값들을 알아내어 변환이 되지 않는 경우도 있지만 대각선 행렬을 만들어 행렬의 계산을 쉽게 하기 위해서라고 생각한다. 고유벡터, 고유값을 아는데 중요한 개념은 행렬을 선형변형으로 보는 것, 행렬식, 선형방정식계, 기저변환이다. 이차원 선형변환에 대해 생각해보자 이 변환은 기저 벡터인 i-hat을 좌표 [3,0]으로, j-hat을 [1,2]로 옮겨서 열이 [3,0]과 [1,2]인 행렬로 나타난다. 한 특정한 벡터의 변환과 벡터의 종점과 시점을 지나는 선인 그 벡터의 스팬에 대해서 생각해보자. 대부분의 벡터는 변환의 과정에서 자신의 스팬을 벗어날 것이다. 만약, 벡터..