[3Blue1Brown] Chapter 11 | Cross products in the light of linear transformations

{학습 목적}
Chatper 11에서는 외적의 정의를 선형변환의 관점에서 바라본다. 
이 부분을 학습하는 이유는 행렬식과 이중성을 이용하여 외적의 기하학적 속성에 대해 이해해보기 위해서라고 생각한다.
또한 3차원에서의 수선으로의 선형변환을 이해하는 것이 외적의 기하학적 의미와 계산 사이의 관계를 명확하게 만드는 것이기 때문에 이 부분을 공부하는 것 같다. 

 

<선형 변환의 관점에서의 외적>

 

바로 앞 챕터의 마지막 부분에서 외적 행렬의 이상한 계산 공식이 있었다. 

v와 w의 외적에서 두 번째 열에는 v벡터를 적고 세 번째 열에는 w벡터를 적고 첫번째 열에는 i-hat, j-hat, k-hat 기호를 적은 행렬을 만들었다. 

그리고 이 행렬의 행렬식을 구했다. 

단지 이를 계산해보면,

상수*(i-hat) + 상수*(j-hat) + 상수*(k-hat)을 얻게 된다.

 

여기서 중요한 것은 이 상수, 즉 어떤 결과 벡터(외적, 소위 p 벡터)의 좌표로 해석 되는 세 개의 숫자를 얻는다는 것이다. 

 

대부분 결과 벡터(p 벡터)의 기하학적 속성에 대해서 그냥 받아드린다. 

 

• 결과 벡터(p 벡터)의 길이는 v벡터와 w벡터에 의해 정의된 평행사변형의 면적과 같다.
• 결과 벡터(p 벡터)의 방향은 벡터 v와 w가 이루는 평면에 직각이다.
• 방향은 오른손 법칙을 따른다. 즉, 집게 손가락을 v 방향으로 두고 가운데 손가락을 w 방향으로 둔 상태에서 엄지손가락을 위로 들면 새로운 벡터(p 벡터)의 방향을 가리킬 것이다.

 

이 강의에서는 이러한 기하학적 속성의 추론에 대해서 설명한다. 

이 때 필요한 것은 행렬식과 이중성에 대한 개념이다. 

 

복습하자면, 이중성의 개념은 어떤 공간을 수선(number line)으로 선형변환 할 때마다 그 공간의 한 특정 벡터와 연관이 있다는 것이다. 

선형변환을 수행하는 것이 그 특정 벡터의 내적을 구하는 것과 같다는 의미에서 그렇다.

수치적으로 이것은 하나의 변환이 하나의 행이 있는 행렬로 설명되어, 각 열은 기저벡터가 변환된 숫자를 알려주기 때문이다.

그리고 이 행렬에 어떤 벡터 v를 곱하면 계산적으로는 v와 그 행렬을 옆으로 돌려서 얻은 벡터의 내적을 구하는 것과 동일하다.

 

중요한 것은 수선에 대한 선형변환을 발견할 때마다 그 변환을 이중 벡터라고 불리는 어떤 벡터와 일치시킬 수 있다는 것이다.
그래서 선형변환을 수행하는 것은 그 벡터의 내적을 얻는 것과 같다. 

 

 

 

이제 이 개념들을 사용해서 외적의 기하학적 속성에 대해 이해해보자.

 

이를 이해하기 위한 단계는 

1. 3차원에서 수선으로의 선형변환을 정의하고
2. 그것이 v, w벡터로 정의되는 것을 확인한다.
3. 이 선형변환을 3d 공간에서의 "이중 벡터"로 연결시키면, 그 "이중 벡터"는 v와 w의 외적이 될 것이다. 

이렇게 하는 이유는 3차원에서 수선으로의 선형변환을 이해하는 것이 외적의 기하학적 의미와 계산 사이의 관계를 명확하게 만들기 때문이다.

 

2차원에서의 외적 계산의 개념을 가져와보자. 

 

두 개의 벡터 v와 w가 있을 때, 행렬의 첫 번째 열에 v좌표를 놓았고, 행렬의 두 번째 열에 w의 좌표를 놓았다.

그리고 행렬식을 계산했을 뿐이다.

기저벡터가 행렬에 있다거나 그런 것도 없었다. 단지 숫자로 반환된 평범한 행렬식이었다.

기하학적으로 이것은 두 벡터에 의해 형성된 평행사변형의 영역을 제공한다.

그리고 두 벡터의 방향에 따라 부호가 결정된다. 

 

만약 3d 외적에 대해 처음 접해본다면, 2d 외적을 구하는 방식과 동일하게 3개의 다른 3d 벡터 u,w,v가 관련될 것이라고 생각해서 그것들의 좌표로 3x3행렬로 만든 후, 행렬식을 구하려고 했을 것이다. 

그리고 이것은 기하학적으로, 세 벡터에 의해 만들어진 평행육면체의 부피가 될 것이다. 

세 벡터의 오른손 규칙 방향에 따라 부호가 결정된다. 

 

이것은 외적의 정의는 아니지만 이 아이디어를 통해 외적을 이해할 수 있다. 

 

첫 번째 벡터 u가 변수, [x,y,z]라고 가정해보자 

x,y,z는 변수이고 v와 w는 고정된 채로 남아있다. 

그리고 3차원에서 수선으로 가는 함수를 생각해보자. 

함수에 어떤 벡터 [x,y,z]를 입력하면 첫번째 열이 x,y,z이고 다른 두 열이 상수 벡터 v,w의 좌표인 행렬의 행렬식을 얻게 된다.

기하학적으로 이 함수의 의미는 모든 입력벡터 [x,y,z]에 대해 벡터 v와 w에 의해 정의된 평행육면체이다.

그런 다음, 방향에 따라 부호를 취하여 부피를 구할 수 있다.

 

이 함수가 갑자기 왜 튀어나온 건지는 모르겠지만 이 함수의 속성을 통해 외적의 기하학적 의미를 이해해본다. 

 

3차원에서 수선으로 가는 함수의 중요한 사실은 선형이라는 것이다. 

이것이 선형이라는 것을 알게 되면 우리는 "이중성"에 대한 생각을 할 수 있다. 

즉, 3차원에서 1차원으로 가는 함수이기 때문에 이 변환을 인코딩(기호화)하는 1x3 매트릭스가 있을 것이다.

그리고 이 이원성의 전체 아이디어가 다차원에서 일차원으로의 변환에 대해 특별한 점은 그 매트릭스를 세로로 돌릴 수 있어서 어떤 벡터의 내적으로써 전체 변환을 해석한다는 점이다. --> (1. 3차원에서 수선으로의 선형변환을 정의)

 

우리가 찾고 있는 것은 그 특별한 3d 벡터인데 이 벡터를 p벡터라고 하자 

 

p 벡터와 다른 어떤 벡터 [x,y,z]사이의 내적을 취하면 [x,y,z]를 3x3행렬의 첫번째 열에 놓고 다른 두 열에 벡터 v ,w 좌표를 놓은 후, 행렬식을 계산하는 것과 같은 결과를 갖는다.

 

 

일단, 이것이 의미하는 바가 무엇인지 계산적으로 살펴보자. 

벡터 p와 [x,y,z]의 내적을 계산하면 (어떤 값)*x +(어떤 값)*y +(어떤 값)*z를 얻는다.

여기서 어떤 값은 벡터 p의 좌표이다.

오른쪽에서 행렬식을 계산할 때는, (어떤 상수)*x +(어떤 상수)*y +(어떤 상수)*z로 보이도록 구성할 수 있다.

그 상수들은 벡터 v와 w의 성분들에 대한 특정 조합이다. (2. 함수의 결과를 두 벡터 v와 w로 정의)

그래서 그 상수들 즉, v와 w의 그 특별한 조합들은 우리가 찾고 있는 p좌표가 될 것이다.

 

x,y,z에 의해 이렇게 곱해지는 상수항을 모으는 것은 첫번째 열에 i-hat,j-hat 및 k-hat 기호를 놓고 각 항들에 어떤 계수들이 오는지를 보는 것과 다르지 않다. 

i-hat,j-hat, k-hat을 사용하는 것은 그 계수들이 한 벡터의 좌표로 해석된다는 의미이다.

 

이러한 개념들을 머릿속에 담아두고 다음 질문에 대해 고민해보자.

 

벡터 p와 어떤 벡터 [x,y,z]를 내적한 것과 [x,y,z]를 행렬에 첫 번째 열에 두고 벡터 v와 w의 좌표를 다른 두 열에 놓은 후, 행렬식을 구한 결과와 같은 벡터 p는 무엇인가?

 

이 질문을 기하학적으로 보면 

어떤 3d 벡터 p가 다음과 같은 특별한 속성을 가지는가?

벡터 p와 어떤 벡터 [x,y,z]의 내적을 구하는 것과 벡터 v,w, [x,y,z]로 정의된 평행육면체의 부피와 같아지는 벡터 p는 무엇인가?

 

이에 대해서 기하학적으로 답해보자. 

 

먼저 v와w에 의해 정의된 평행사변형의 면적을 구한다. 

그리고서 [x,y,z]의 길이만큼 곱하지 말고, 그 평행사변형에 수직인 길이만큼만 곱한다. 

즉, 주어진 벡터에 대해 선형함수가 작동하는 방식은 주어진 벡터를 v,w 에 모두 수직인 선에 투사하여 그 투사된 길이에 v와 w에 의해 정의된 평행사변형의 면적에 곱하는 것이다. 

 

이것은 “[x,y,z]”와 “v,w에 수직이면서 길이는 평행사변형의 면적인 벡터”의 내적을 구하는 것과 같다.

(평행육면체의 부피는 [x,y,z]*평행사변형 넓이이고 이는 내적으로 봤을 때 p 벡터의 길이가 평행사변형 넓이와 같아야 한다는 것을 의미한다.)

여기에 더해, 이 벡터(p벡터)의 적절한 방향을 선택하면 내적이 음수인 경우에는 [x,y,z],v 및w 방향에 오른손 법칙이 적용된 경우와 일치한다.

이것은 방금 우리가 벡터 p를 찾았음을 의미한다.

 

그래서 p 벡터와 어떤 벡터 [x,y,z]의 내적을 구하는 것은 것은 [x,y,z]와 v,w의 좌표를 열로 가지는 3x3행렬의 행렬식을 구하는 것과 같다.

즉, 계산적으로 보나 기하학적으로 보나 p 벡터에 대한 값은 일치해야한다. 

이것이 외적의 계산과 기하학적 해석이 관련되어 있는 지에 대한 근본적인 이유이다.

 

또한 계산적인 접근 방식이 i-hat,j-hat, k-hat 기호를 행렬의 첫 번째 열에 놓고 행렬식을 계산해보았다. 

 

기하학적으로 생각하면, 우리는 이 이중 벡터가 반드시 v와 w에 수직이며, 길이는 두 벡터가 이루는 평행사변형의 면적과 같아야 한다는 것을 추론할 수 있었다.

 

두 접근법 모두 동일한 변환에 대한 이중 벡터를 제공하므로 그들은 동일한 벡터여야한다.