[3Blue1Brown] Chapter 15 | A quick trick for computing eigenvalues

{학습 목적}
Chatper 15에서는 고유값을 빠르게 계산하는 방법에 대해 학습한다. 
이를 학습하는 이유는 2x2 행렬에서 고유값 계산에서 특성다항식을 구성하는 단계를 건너뛰는 방법을 통해 좀 더 쉽고 빠른 계산을 하기 위해서라고 생각한다. 

 

<고유값 계산에서의 트릭>

 

우리는 앞에서 고유값을 계산하기 위해 특성다항식에 대해 배웠다.

2x2행렬의 경우 고유값을 얻을 수 있는 더 쉬운 방법이 있다.

 

1. 행렬의 두 대각선 항목의 합인 행렬의 자취는 고유값의 합과 같다.

더 유용하게 쓰이는 다른 표현 방법은 두 고유값의 평균이 두 대각선 항목의 평균과 동일하다는 것이다.

 

2.   행렬식의 공식인 ad-bc는 두 고유값의 곱과 같다.

이 값이 고유벡터의 특정 방향으로 공간을 얼마나 확장하는지를 설명하게 된다.

 

3번을 설명하기 전에 예시를 보자

우리는 1,2 번을 통해 고유값의 평균이 8과 6의 평균인 7과 같다는 것을 알 수 있다.

행렬식은 48-8 이므로 두 고유값의 곱이 40이라는 것을 알게된다.

 

즉 우리는 고유값의 평균과 곱을 알고 있다. 

예에서 살펴보면 고유값이 7 주위에 균등하게 배치된 것을 볼 수 있다. 

평균과 고유값 사이의 거리를 d 라고 해보자. 

 

고유값의 곱은 평균과 거리의 제곱의 차이로 나타낼 수 있다. 

이 예에서 d 는 3이 되고 즉 고유값 2개는 4와 10이 된다는 결론을 도출할 수 있다. 

 

이를 일반적인 공식으로 나타내보자 

모든 평균 m과 곱 p에 대해 거리의 제곱은 항상 m^2-p가 된다.

이것이 3번에 해당하는 내용이다.

즉, 3. 두 고유값을 평균 m 과 곱 p가 있을 때 두 고유값을 m±sqrt(m^2-p) 로 쓸 수 있다.

 

예를 들어, 행렬 [[3,1[4,1]]에 m±sqrt(m^2-p)공식을 사용해보자 

고유값의 평균 m은 3과 1의 평균과 같으므로 2가 된다.

그런 다음 이 행렬의 행렬식을 계산 (3*1-1*4)를 계산하여 p 값을 구하고 이는 -1이 된다. 

이를 통해 고유값이 2±sqrt(5)라는 것을 알 수 있다.

 

또 다른 예로서 역학에서 자주 등장하는 3가지 파울리 스핀 행렬을 살펴보자

 

세 가지 경우 모두 대각선 행렬값의 평균은 0이므로 고유값의 평균은 0이라는 사실을 알 수 있다.

 

고유값의 곱은 행렬식 계산을 통해 세 행렬 모두 ±1이라는 것을 알 수 있다.

 

따라서 고유값의 평균이 0이고 곱이 -1이라는 것을 알면 두 값을 계산할 공식이 필요없다.

 

하지만 이런 특정 행렬의 경우 특성다항식을 이용하는 전통적인 방법이 더 빠를 수도 있다. 

첫 번째 행렬에서 행렬식 λ^2 -1을 얻을 수 있으며 이 고유값은 ±1이라는 사실을 빠르게 알 수 있다.

두 번째 행렬도 마찬가지이다.

마지막 행렬은 이미 대각선 행렬이기 때문에 각 항목이 고유값이라는 것을 알 수 있다.

 

즉 특성다항식을 통한 계산 방법이 전혀 의미없다는 이야기가 아니다. 

 

빠른 계산 방법을 알 수 있는 방법은 이 세 가지 행렬의 선형조합을 취한 다음 고유값을 계산하려고 하는 것이다.

양자역학에서 이것은 좌표가 [a,b,c]인 벡터 스핀 관찰을 설명한다.  

a^2 + b^2 + c^2 =1로 정규화 되었다고 가정한다. 

이 새로운 행렬을 보면 고유값의 평균이 0인 것을 알 수 있다. 또한 해당 고유값의 곱도 -1인 것을 확인 할 수 있다.

 

이를 특성 다항식으로 나타내는 것은 평균과 곱을 나타내는 방법보다 더 복잡해보인다. 

 

분명히 말해서, 평균 곱 공식을 사용하는 것은 특성 다항식의 근을 찾는 것과 근본적으로 다르지 않다.

평균 곱 공식이 일반적으로 2차 방정식을 푸는 좋은 방법이라는 것이다.

 

이 선행 계수가 1이 되도록 다항식이 정규화 되면 근의 평균은 이 선형계수의 -1/2배가 된다.

즉 평균을 5로 만드는 것이다.

 

근의 곱은 조정이 필요하지 않은 상수항으로 거리의 제곱 공식을 적용하면 ±sqrt(16)이 된다.

 

이것은 근의 공식과 같은 것을 알 수 있다.

하지만 더 간단하고 암기해야 할 기호가 적다.

 

이러한 평균 곱의 장점은 특성 다항식을 설정하는 중간단계를 거칠 필요가 없다는 것이다.

그러나 이 공식을 쓰기 위해서는 각 용어가 어떤 의미를 지니는지 알아야한다.