[3Blue1Brown] Chapter 3 | Linear transformations and matrices

{학습 목적}
Chapter 3에서는 선형변환과 행렬에 대해 설명한다. 
앞 챕터에서는 공간의 형성에 대해 배웠다면 이번 챕터에서는 공간의 변형에 대해서 다루는 것 같다. 
이 개념을 학습하는 이유는 행렬이 단지 행과 열로 이루어진 숫자들의 집합이 아니라 실제로는 공간의 변형이라는 기하학적으로 중요한 의미를 담아내고 있다는 것을 이해하기 위해서라고 생각한다. 

 

 

<선형변환, 행렬>

 

[선형변환]

 

선형변환(Linear transformation):  

선형대수에서의 특수한 형태의 변환

모든 선들은 변환 이후에도 휘지 않고 직선이어야하며, 원점 변환은 이후에도 여전히 원점이어야한다. 

즉, 격자 라인들은 변형 이후에도 여전히 평행하고 동일한 간격으로 있어야 한다.

 

변환은 선형대수 맥락으로 보자면, 특정 벡터를 다른 벡터로 바꾸는 것이다.

변환은 입력-출력 관계를 시각화하는 특정방법을 암시해준다. 

이러한 변환을 이해하는 가장 좋은 방법은 움직임으로 이해하는 것이다.

우리는 입력벡터를 이동시켜서 출력벡터로 만드는 것으로 생각해볼 수 있다.

 

화살표로 그려진 모든 벡터들의 움직임을 한번에 생각하는 것은 혼란스럽기 때문에 벡터를 하나의 점으로 생각한다. 

변환을 통해 마치 공간상의 모든 점들이 다른 점들로 이동하는 것처럼 생각하면 된다.

 

2차원에서 생각해본다면 변환을 통해 전체 형태가 어떻게 변하는 지 쉽게 와닿을 것이다.

 

이 때 변환은 선형대수에서 "선형" 변환으로만 제한된다. 

모든 선들은 변환 이후에도 휘지 않고 직선이어야하며, 원점 변환은 이후에도 여전히 원점이어야한다.

 

이런 변환들을 어떻게 수치적으로 표현할 수 있을까?

i -hat, j-hat 벡터 좌표를 알고 있는 한 어떤 벡터든지 변환 후에 어디로 이동할 지 알아 낼 수 있다.

 

예를 들어, 벡터 v(1,-2)를 생각해보자. 기저 벡터에 어떤 변환을 적용시켜, 이 세 벡터가 어디로 이동하는지 따라가보면, 매우 중요한 결과로, 선들이 계속 평행하고 균등하게 분포한다는 속성을 발견하게 된다.

변환 전 3개의 벡터

변환 후 3개의 벡터

변환 전에 v벡터를 이루는 i-hat ,j-hat의 선형 결합이 변환 후에도 같은 선형 결합을 유지하는 것을 확인할 수 있다. 

즉, i-hat ,j-hat 벡터 좌표를 알고 있는 한 변환이 어떻게 이루어지는 지 볼 필요 없이 어떤 벡터든지 변환 후에 어디로 이동할 지 알아낼 수 있다는 것이다. 

 

[행렬]

 

이처럼 2차원 선형 변환을 통해 이 모든 것들이 변환된 i-hat의 두 개의 좌표값과 변환된 j-hat의 두 개의 좌표값으로 설명된다.

이 좌표값들을 2x2 숫자 형태인 행렬로 표현하는 게 일반적이다. 

즉, 행렬은 선형변환을 묘사한다. 

 

일반적으로 설명하자면 행렬의 인자가 a,b,c,d,라고 가정해보자.

첫번째 열 a,c는 첫번째 기저 벡터(i-hat)의 도착점이고, 두 번째 열(b,d)는 두 번째 기저벡터(j-hat)의 도착점이다.

이 변환을 어떤 벡터 (x,y)에 적용하게 되면 그것은 (a,c)의 x배, 더하기 (b,d)의 y배 일 것이다.

결론은 (ax+by, cx+dy)인 벡터를 얻는다. 

이것이 행렬-벡터의 곱셈이다. 

 

즉, 정리하자면 선형변환은 공간을 이동시키는 방법이며, 격자선이 여전히 평행하고 균등간격을 유지한 변형이다.

그리고 원점은 고정되었음을 의미한다.

 

 

이 변환들은 간단한 숫자들로 설명가능하다. 바로 기저 벡터들의 변형 후 좌표값이다.

행렬은 우리에게 이러한 변환을 설명하는 언어를 제공해준다.

행렬의 열들은 이 좌표값을 나타내며 행렬-벡터 곱셈은 단지 이 변환이 주어진 벡터에 적용한 결과를 계산하는 방법이다. 

 

 

*중요한 것은 행렬을 볼 때마다, 공간의 변환으로 생각하는 것이다.*

 

 

• 선형변환?
  • 격자선의 균등한 간격을 유지하며 공간을 변환시키는 것 
• 행렬?
  • 변환된 기저 벡터를 수치적으로 나타낸 형태