[3Blue1Brown]Chapter 4 | Matrix multiplication as composition

{학습 목적}
Chapter 4에서는 행렬의 곱셈에 대해 다룬다. 
이 개념을 학습하는 이유는 2번 이상의 변환을 적용할 때 행렬의 곱셈을 통해서 결과 값을 어떻게 설명할 지에 대해 알아보기 위해서라고 생각한다. 

 

<행렬의 곱셈>

 

두 개의 선형변환의 합성도 i-hat, j-hat을 이용해서 행렬로 표현이 가능하다. 

 

어떤 벡터를 회전시키고 미는 변환을 시킨 후 결과 벡터를 생각해보자. 

이러한 과정을 거친 새 행렬을 두 원본 행렬의 곱이라고 부른다. 

 

 

즉 두 행렬의 곱셈은 기하학적으로 한 변환을 적용하고 나서 다른 변환을 적용한 것과 같다. 

그리고 이것의 결과를 선형변환의 합성이라고 말한다. 

 

읽을 때는 오른쪽에서 왼쪽방향으로 봐야한다.

우측의 행렬이 첫번째 변환을 의미하고, 좌측의 행렬을 그 다음 변환 적용을 나타낸다.

 

i-hat이 어떻게 되는지부터 보자.

오른쪽 행렬의 첫 번째 열은 첫 번째 변환 후의 i-hat위치이다.

이 열을 왼쪽 행렬에다가 곱하면, 한번 변환을 거친 i-hat이 최종적으로 어디에 도달하는 지 알 수 있다.

그래서 합성행렬의 첫번째 열은 항상 왼쪽 행렬과 오른쪽 행렬의 첫째열의 곱셈과 같다.

마찬가지로 j-hat은 오른쪽 행렬의 두 번째 열의 값을 거쳐 왼쪽 행렬을 곱하여서 최종위치가 나온다.

따라서 이것이 합성행렬의 두 번째 열이다.

 

 

그렇다면 우리가 두 행렬을 곱할 때 그 두 행렬을 곱하는 순서가 상관이 있을까?

 

1. 미는 변환 -> 90도 회전

i-hat은 (0,1) j-hat은 (-1,1)이 된다. 

 

2. 90도 회전 -> 미는 변환 

i-hat은 (1,1) j-hat은 (-1,0)이 된다. 

 

즉, 곱하는 순서에 따라 결과가 달라지기 때문에 곱하는 순서는 중요하다! 

 

 

• 행렬의 곱?
  • 순서를 고려하여 변환을 적용하는 방법